Probleem van het verpakken van eindig aantal bollen: de ’worstcatastrofe’

Heb je je ooit afgevraagd hoe je†het beste een eindig aantal identieke bollen in een vervormbare, flexibele container - zoals een convex omhulsel - kunt stapelen?

Onder leiding van dr. Hanumantha Rao Vutukuri van het Active Soft Matter-laboratorium (Faculteit TNW) hebben onderzoekers van de UT en van de Universiteit Utrecht dit fascinerende wiskundige probleem van het verpakken van bollen onderzocht met behulp van experimenten en computersimulaties. Dit onderzoek is gepubliceerd in Nature Communications .

Een op het eerste gezicht eenvoudig probleem over hoe je een verzameling bollen het beste kunt verpakken, kent een lange geschiedenis van studies die teruggaat tot de 17e eeuw. De Britse zeeman Raleigh onderzocht dit probleem bijvoorbeeld toen hij zocht naar een efficiŽnte methode om kanonskogels op zijn schip te stapelen. Later vermoedde Kepler dat de compactste verpakking voor een oneindig aantal bollen het kubisch vlakgecentreerde (FCC, face-centered cubic) kristalrooster was, een verpakking die vergelijkbaar is met de zeshoekige rangschikking van sinaasappels en appels in supermarkten. Opmerkelijk genoeg werd deze hypothese pas in de 21e eeuw bewezen.

De ’worstcatastrofe’†

Bij een eindig aantal bollen wordt alles ingewikkelder; verrassend genoeg levert het verpakken van de ’eindige’ bollen in een compact cluster niet altijd de compactste verpakking op. Wiskundigen vermoedden tientallen jaren geleden al dat een lineaire, worstvormige rangschikking de beste verpakking is, maar niet voor alle aantallen bollen. Er is sprake van een merkwaardig fenomeen: de worstvormige rangschikking is de meest efficiŽnte verpakking, tot 55 bollen. Boven dat aantal wordt een geclusterde rangschikking de beste verpakking. Deze abrupte overgang wordt ook wel de ’worstcatastrofe’ genoemd. In een driedimensionale ruimte wordt met een lineaire verpakking van maximaal 55 bollen een ’worst’ gevormd. Deze verpakking is compacter dan elke willekeurige andere clusterrangschikking. Dit scenario verandert echter aanzienlijk wanneer er vier dimensies worden gebruikt. Er zijn circa 300.000 bolletjes nodig om de ’worst’ om te vormen tot een bolvormig cluster.

Rao was benieuwd of dit uiterst intrigerende probleem in het laboratorium kon worden waargenomen en opgelost met behulp van een modelsysteem. Dit systeem omvat bolvormige deeltjes (colloÔden) ter grootte van microns en gigantische unilamellaire blaasjes (GUV’s, giant unilamellar vesicles) die fungeren als flexibele containers. Deze zaken vormen samen de belangrijkste ingrediŽnten in Vutukuri’s lab.

Vanuit deze interesse is dr. Vutukuri met zijn team het probleem van het verpakken van een eindig aantal bollen gaan onderzoeken door middel van echte 3D-experimenten, waarbij zij specifiek gebruikmaakten van colloÔden in GUV’s.†Door het aantal deeltjes en het volume van de blaasjes constant te veranderen, konden zij de verschillende rangschikkingen van de deeltjes in deze blaasjes onderzoeken met behulp van een confocale microscoop. Ze stelden stabiele rangschikkingen vast voor specifieke combinaties van het volume van de blaasjes en het aantal deeltjes: 1D (worst), 2D (bord, met deeltjes op ťťn vlak) en 3D (cluster). Opvallend genoeg observeerden ze ook bistabiliteit; de indelingen wisselden af tussen 1D- en 2D-rangschikkingen of tussen 2D- en 3D-structuren. De onderzoekers moesten hun experimenten echter beperken tot het observeren van maximaal 9 deeltjes, aangezien de blaasjes steeds knapten bij het verpakken van grotere aantallen.

Het team van Vutukuri nam vervolgens contact op met het laboratorium van Dijkstra aan de Universiteit Utrecht om met behulp van simulaties dit probleem nader te kunnen onderzoeken. Wat opviel, was dat de simulaties voorspelden dat het verpakken van bolletjes in een worstvorm het meest efficiŽnt is tot 55 bolletjes. Toen de onderzoekers echter probeerden om 56 bolletjes in een blaasje te verpakken, ontdekten ze dat een compacte driedimensionale cluster de meest efficiŽnte rangschikking was. Merkwaardig genoeg veranderde de verpakking bij 57 bolletjes weer in een worstvorm. Wiskundigen hebben eerder vastgesteld dat een worstvorm het meest efficiŽnt is voor 58 en 64 bolletjes, maar het onderzoek van het team van dr. Vutukuri spreekt dit tegen en toont aan dat compacte clusters voor deze aantallen juist effectiever zijn. Hun bevindingen tonen aan dat de ’worstcatastrofe’, een fenomeen dat al eerder door wiskundigen werd beschreven, niet alleen een theoretisch scenario is, maar ook experimenteel kan worden waargenomen.

Tot slot deelt Vutukuri nog een anekdote. Een van de mooiste dingen die hem is bijgebleven, is dat hij een e-mail ontving van professor JŲrg Wills van de Universiteit van Siegen in Duitsland, die in 1982 de term ’sausage catastrophe’ heeft bedacht. Vutukuri merkt op: "Het is leuk om te zien hoe wiskunde en de (scheikundige) werkelijkheid samenkomen."

Bacheloropleidingen
Masteropleidingen
Hbo-doorstroom
Faculteiten & instituten
Student Services Contact Centre
(Interne) Service Portal

Contact
People Pages (telefoongids)
Route & Plattegrond
Werken bij de UT/Vacatures
Nieuwsoverzicht UT
Agenda UT

Samenwerken met de UT Bedrijfsruimte op de campus PhD/PDEng in het bedrijfsleven Ondersteuning door Novel-T DesignLab